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割线定理:判断凹凸的神奇工具

来源:www.bb1kk1.com 时间:2024-06-11 23:48:38 作者:明察判断网 浏览: [手机版]

  在学习高数学时,我们都学习过函数的凹凸性质明 察 判 断 网。但是,如何判断一个函数的凹凸性质呢?这时候,割线定理就为了一个神奇的工具

割线定理:判断凹凸的神奇工具(1)

一、割线定理的定义

割线定理,名思义,就是通过一条割线来判断函数的凹凸性质。具体来说,对于函数$f(x)$,如在区间$(a,b)$上存在一点$c$,使得割线$AB$满足:

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

  那么函数$f(x)$在区间$(a,b)$上就是凹函数原文www.bb1kk1.com。如符号反过来,那么函数$f(x)$在区间$(a,b)$上就是凸函数。

割线定理:判断凹凸的神奇工具(2)

二、割线定理的证明

割线定理的证明并不难,我们可通过直接计算来证明。

  首先,我们可将割线$AB$的率表示为:

  $$k=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$

然后,我们可将点$A$和点$B$的坐标表示为:

  $$A:(a,f(a))$$$$B:(b,f(b))$$

  于是,我们可将割线$AB$的率表示为:

  $$k=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

  项可得:

$$f(x)-f(c)=k(x-c)$$$$f(b)-f(a)=k(b-a)$$

将$f(x)$表示为$f(c)+k(x-c)$,代入不,得到:

  $$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\frac{f(c)+k(x-c)-f(c)}{x-c}=k$$$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(c)+k(b-c)-f(c)}{b-a}=k$$

因此,不表示为:

$$k\leq k$$

  这显然是立的,因此函数$f(x)$在区间$(a,b)$上是凹函数原文www.bb1kk1.com

三、割线定理的应用

  割线定理的应用非常广泛,下面我们来看几个例子。

  例1:判断函数$f(x)=x^2$在区间$(0,1)$上的凹凸性质。

  首先,我们可出函数$f(x)$在区间$(0,1)$上的导数:

  $$f'(x)=2x$$

  然后,我们可出函数$f(x)$在区间$(0,1)$上的二阶导数:

  $$f''(x)=2$$

由于$f''(x)>0$,因此函数$f(x)$在区间$(0,1)$上是凸函数明+察+判+断+网

  我们也可使用割线定理来判断函数$f(x)$在区间$(0,1)$上的凹凸性质。对于函数$f(x)=x^2$,我们可选择点$c=\frac{1}{2}$,然后选择任意两个点$a$和$b$,计算出割线$AB$的率:

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}}=2x-\frac{1}{2}$$

  然后,我们可计算出割线$AB$的率的最小值为$0$,因此函数$f(x)$在区间$(0,1)$上是凸函数。

例2:判断函数$f(x)=\sin x$在区间$(0,\pi)$上的凹凸性质来源www.bb1kk1.com

  首先,我们可出函数$f(x)$在区间$(0,\pi)$上的导数:

$$f'(x)=\cos x$$

  然后,我们可出函数$f(x)$在区间$(0,\pi)$上的二阶导数:

$$f''(x)=-\sin x$$

  由于$f''(x)<0$,因此函数$f(x)$在区间$(0,\pi)$上是凹函数。

  我们也可使用割线定理来判断函数$f(x)$在区间$(0,\pi)$上的凹凸性质。对于函数$f(x)=\sin x$,我们可选择点$c=\frac{\pi}{2}$,然后选择任意两个点$a$和$b$,计算出割线$AB$的率:

  $$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\frac{\sin x-1}{x-\frac{\pi}{2}}=-\cos x$$

  然后,我们可计算出割线$AB$的率的最大值为$1$,因此函数$f(x)$在区间$(0,\pi)$上是凹函数www.bb1kk1.com明察判断网

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